题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点S(0，-
)，T(0，
)，求∠SPT的最小值；
（3）若点F(1，
)是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
| 3 |
| 2 |
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点S(0，-
| 3 |
| 3 |
（3）若点F(1，
| 3 |
| 2 |
（1）设P（x，y），∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=
+
=4＞2=|AB|…（1分）
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且a=2，c=1，b=
…（2分）
∴动点P的轨迹方程即曲线E的方程为
+
=1…（3分）
（2）设P（x0，y0）是曲线E上的任意一点，则有
+
=1，∴y02=3(1-
)
由椭圆的对称性不妨设点P在y轴右侧，即0＜x0≤2
则kPS=
，kPT=
，由到角公式得…（4分）tan∠SPT=
=
=
=
=
＞0
∴∠SPT为锐角…（6分）
∵0＜x0≤2，∴当x0=2时，(tan∠SPT)min=4
…（7分）
∴∠SPT的最小值为arctan4
…（8分）
（3）∵M，N是曲线E上不同的两点，且直线FM和FN的倾斜角互补，则直线FM，FN的斜率存在且不为零．
设直线FM的方程为y=k(x-1)+
由
消y，整理得（4k2+3）x2-4k（2k-3）x+4k2-12k-3=0①…（10分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F(1，
)是直线FM与椭圆的交点，∴方程①的两根为1，x1
由根与系数的关系得x1=
②…（11分）
∵直线FM和FN的倾斜角互补，∴直线FN的斜率为-k，
以-k代替②中的k得x2=
…（12分）
又y1=k(x1-1)+
，y2=-k(x2-1)+
∴y1-y2=k(x1+x2-2)=k•(
-2)=
而x1-x2=
，∴y1-y2=
(x1-x2)
∴直线MN的斜率为定值，其定值为
…（14分）
| 3 |
| 2 |
(
|
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且a=2，c=1，b=
| 3 |
∴动点P的轨迹方程即曲线E的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设P（x0，y0）是曲线E上的任意一点，则有
| x02 |
| 4 |
| y02 |
| 3 |
| x02 |
| 4 |
由椭圆的对称性不妨设点P在y轴右侧，即0＜x0≤2
则kPS=
y0+
| ||
| x0 |
y0-
| ||
| x0 |
| kPS-kPT |
| 1+kPS•kPT |
| ||||||||
1+
|
2
| ||
| x02+y02-3 |
2
| ||
x02-
|
8
| ||
| x0 |
∴∠SPT为锐角…（6分）
∵0＜x0≤2，∴当x0=2时，(tan∠SPT)min=4
| 3 |
∴∠SPT的最小值为arctan4
| 3 |
（3）∵M，N是曲线E上不同的两点，且直线FM和FN的倾斜角互补，则直线FM，FN的斜率存在且不为零．
设直线FM的方程为y=k(x-1)+
| 3 |
| 2 |
由
|
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F(1，
| 3 |
| 2 |
由根与系数的关系得x1=
| 4k2-12k-3 |
| 4k2+3 |
∵直线FM和FN的倾斜角互补，∴直线FN的斜率为-k，
以-k代替②中的k得x2=
| 4k2+12k-3 |
| 4k2+3 |
又y1=k(x1-1)+
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 8k2-6 |
| 4k2+3 |
| -12k |
| 4k2+3 |
而x1-x2=
| -24k |
| 4k2+3 |
| 1 |
| 2 |
∴直线MN的斜率为定值，其定值为
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