题目内容

直线l:x-y=0与椭圆
x2
2
+y2=1相交A、B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为______.
直线l:x-y=0与椭圆
x2
2
+y2=1联立,消元可得
3x2
2
=1
,∴x=±
6
3

∴不妨设A(
6
3
6
3
),B(-
6
3
,-
6
3

∴|AB|=
4
3
3

设过C点且与AB平行的直线L方程为 y=x+c,L与AB距离就是C点到AB的距离,也就是三角形ABC的BC边上的高.
只要L与椭圆相切,就可得L与AB最大距离,可得最大面积.
y=x+c代入椭圆
x2
2
+y2=1,消元可得3y2-2cy+c2-2=0
判别式△=4c2-12(c2-2)=0,∴c=±
3

∴L与AB最大距离为
3
2
=
6
2

∴△ABC最大面积:
1
2
×
4
3
3
×
6
2
=
2

故答案为:
2
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