Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，A₁B₁⊥B₁C₁，AB=BC=BB₁=2，M是BC₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁⊥平面A₁B₁M；
（Ⅱ）求三棱锥M-A₁B₁B的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的三线合一得到B₁C⊥B₁M①和BC₁⊥A₁M②，结合线面垂直的判定解答；
（Ⅱ）首先判定A₁B₁⊥平面BMB₁，然后利用等积法得到VM-A1B1B=VA1-BMB1=

1

3

×S△BMB1×A₁B₁，只要求出△BMB₁的面积．

解答： 解：（Ⅰ）因为△B₁BC₁为等腰三角形，M是BC₁的中点，
所以B₁C⊥B₁M①
又因为△A₁BC₁为等腰三角形，M是BC₁的中点，所以BC₁⊥A₁M②，
由①②可得BC₁⊥平面A₁B₁M；
（Ⅱ）因为已知三棱柱是直棱柱，所以BB₁⊥A₁B₁，又A₁B₁⊥B₁C₁，
所以A₁B₁⊥平面BMB₁，所以VM-A1B1B=VA1-BMB1=

1

3

×S△BMB1×A₁B₁，
其中S△BMB1=

1

2

×BM×MB1=

1

2

×

2

×

2

=1，A₁B₁=2，
所以VM-A1B1B=

1

3

×1×2=

2

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定和三棱柱性质的运用，属于基础题．