Question

设函数f（a）=sinα+

3

cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．
（Ⅰ）若P点的坐标为（-

3

，1），求f（a）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（a）的最小值及取得最小值时的α的值．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）若P点的坐标为（-

3

，1），根据三角函数的定义，可得sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，代入可得f（a）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一个动点，则α∈[

π

4

，

π

2

]，结合正弦函数的图象和性质可得函数f（a）的最小值及取得最小值时的α的值．

解答： 解：（Ⅰ）若P点的坐标为（-

3

，1），
则sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，
故f（a）=sinα+

3

cosα=

1

2

-

3

×

3

2

=-1，
（Ⅱ）约束条件

x+y≥1 y≥x y≤1

对应的可行域如下图所示：

若点P（x，y）为平面区域

x+y≥1 y≥x y≤1

上的一个动点，
则α∈[

π

4

，

π

2

]，
∵f（a）=sinα+

3

cosα=2sin（α+

π

3

），
∴α+

π

3

∈[

7π

12

，

5π

6

]，
由y=sinx在[

7π

12

，

5π

6

]上为减函数，
故当α+

π

3

=

5π

6

，即α=

π

2

时，f（a）取最小值1．

点评：本题考查的知识点是线性规划，正弦函数的图象和性质，和差角公式，是三角函数与线性规划的综合应用，难度中档．