题目内容
如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=| 3 |
（1）求三棱锥C-ABE的体积；
（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面AE？证明你的结论．
考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）利用平行四边形的性质得到AC的长度，利用体积公式解答；
（2）利用面面垂直的判定定理，只要DE⊥平面ADC；
（3）在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，M为DC 的中点；利用线面平行的判定定理和性质定理解答．
（2）利用面面垂直的判定定理，只要DE⊥平面ADC；
（3）在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，M为DC 的中点；利用线面平行的判定定理和性质定理解答．
解答：
解：（1）∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，
∵DC⊥平面ABC，
∴AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，∴AC=
=
，
∴S△ABC=
AC•\BC=
，又BE=DC=
，
∴VC-ABE=
S△ABC•BE=
×
×
=
；
（2）∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DC⊥BC，
∵BC⊥AC，并且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
又∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
∴平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，M为DC 的中点；
证明：取BE的中点N，连接MO，MN，NO，
∴M，N，O分别为CD，BE，AB的中点，
∴MN∥DE，
∵DE?平面ADE，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE，
同理可得NO∥平面ADE，
∵MN∩NO=N，
∴平面MNO∥平面ADE，
∵MO?平面MNO，
∴MO∥平面ADE．
∴CD∥BE，
∵DC⊥平面ABC，
∴AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，∴AC=
| AB2-BC2 |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴VC-ABE=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（2）∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DC⊥BC，
∵BC⊥AC，并且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
又∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC，
∴平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，M为DC 的中点；
证明：取BE的中点N，连接MO，MN，NO，
∴M，N，O分别为CD，BE，AB的中点，
∴MN∥DE，
∵DE?平面ADE，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE，
同理可得NO∥平面ADE，
∵MN∩NO=N，
∴平面MNO∥平面ADE，
∵MO?平面MNO，
∴MO∥平面ADE．
点评：本题考查了空间线面关系的评定和证明；考查了线面平行是判断和性质定理的运用以及线面垂直的判断和性质．
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