Question

已知双曲线与椭圆

x2

49

+

y2

24

=1共焦点，且以y=±

4

3

x为渐近线．
（1）求双曲线方程．
（2）求过双曲线右焦点且倾斜角为

π

3

的直线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线方程，结合以y=±

4

3

x为渐近线，求出a，b，即可得到双曲线方程．
（2）求出直线的斜率，可得过双曲线右焦点且倾斜角为

π

3

的直线方程．

解答： 解：（1）椭圆的焦点坐标为（±5，0），设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)…（1分）
则渐近线方程为y=±

b

a

x，
所以

a2+b2=25 b a = 4 3

…（4分）
解得

a2=9 b2=16

…（6分）
则双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1…（7分）
（2）∵直线的倾斜角为

π

3

，
∴直线的斜率为

3

，…（9分）
故直线方程为y=

3

（x-5）…（11分）
即

3

x-y-5

3

=0…（12分）

点评：本题考查椭圆、双曲线的性质与方程，考查学生的计算能力，属于中档题．