Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是被AD、PC的中点，
（1）求证：DN∥平面PMB；
（2）求证：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求三棱锥A-PMB的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证DN∥平面PMB，只要证DN∥MQ；
（2）要证平面PMB⊥平面PAD，只要证MB⊥平面PAD；
（3）利用PD是三棱锥P-AMB的高PD=2，棱锥A-PMB的体积=棱锥P-AMB的体积，利用棱锥的体积公式解之．

解答： 解：（1）证明：取PB的中点Q，连接MQ，NQ，
∵M，N分别是棱AD，PC的中点，
∴QN∥BC∥MD，并且QN=MD，
∴四边形MDNQ为平行四边形，
∴DN∥MQ，又MQ?平面PMB，DN?平面PMB，
∴DN∥平面PMB；
（2）∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB；
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴MB⊥AD，
又AD∩PD=D，
∴MB⊥平面PAD，
又MB?平面PMB，
∴平面PMB⊥平面PAD；
（3）∵PD⊥平面ABCD，∴PD是三棱锥P-AMB的高PD=2，
∵S△ABM=

1

2

S△ABD=

3

2

，
∴VA-PMB=VP-AMB=

1

3

PD×S△ABM=

3

3

．

点评：本题考查了几何体棱锥中线面平行和面面垂直的判断以及棱锥体积的求法；关键是转化为线线关系解答．