Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=1，公比为q（q≠1且q≠0），且b_n=a_n+1-a_n．
（1）判断数列{b_n}是否为等比数列，并说明理由；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式求出a_n，再由题意化简

bn+1

bn

为常数，并且求出b₁，再由等比数列的定义下结论；
（2）由（1）和等比数列的通项公式求出b_n．

解答： 解：（1）数列{b_n}是等比数列，
由题意得，a_n=a₁•q^n-1=q^n-1，
所以b_n=a_n+1-a_n=qⁿ-q^n-1=q^n-1（q-1），
又q≠1且q≠0，则

bn+1

bn

=

qn(q-1)

qn-1(q-1)

=q，
且b₁=a₂-a₁=q-1，
所以数列{b_n}是以q为公比、以q-1为首项的等比数列，
（2）由（1）得，b_n=b₁•q^n-1=（q-1）q^n-1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的判断方法：定义法．