Question

19．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n（n∈N*），求{c_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的通项公式以及两个数列项的关系建立方程即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n（n∈N*），求出{c_n}的通项公式，利用错位相减法即可求{c_n}的前n项和为S_n．

解答 解：（1）∵第2项，第5项，第14项分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项．
∴b₃²=b₂•b₄即${a_5}^2={a_2}•{a_{14}}$，
∴${（{a_1}+4d）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+13d）$
解得：d=2a₁=2，
∴a_n=2n-1∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
则${b_n}={3^{n-1}}$．
（2）${c_n}=（2n-1）•{3^{n-1}}$，
∴${S_n}=1•{3^0}+3•{3^1}+5•{3^2}+…+（2n-1）•{3^{n-1}}$?，
∴$3{S_n}=1•{3^1}+3•{3^2}+5•{3^3}+…+（2n-1）•{3^n}$?
两式相减，得-2S_n=1+2•（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ
=1+3ⁿ-3-（2n-1）•3ⁿ=-2-（2n-2）3ⁿ，
则S_n=1+（n-1）3ⁿ．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及数列和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．