Question

9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC∥BP，BM切⊙O于B，BM交CP于M，且CM=MP．
（1）求证：CP与⊙O相切；
（2）已知CP与AB交于N，AB=2，CN=$\sqrt{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC，OC，证明△OCM≌△OBM，可得∠OCM=90°，即可证明CP与⊙O相切；
（2）由切割线定理可得：CN²=NA•NB，求出NA，利用△ACB∽△CBP求AC的长．

解答 （1）证明：连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥BP，
∴∠CBP=90°，
∵CM=MP，
∴MC=MB，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OCM≌△OBM，
∴∠OCM=90°，
∴CP与⊙O相切；
（2）解：由切割线定理可得：CN²=NA•NB，
∵AB=2，CN=$\sqrt{3}$，
∴3=NA•（NA+2），
∴NA=1，
∵AC∥BP，
∴$\frac{AC}{BP}$=$\frac{NA}{NB}$=$\frac{1}{3}$．
设AC=x，则BP=3x．
∵△ACB∽△CBP，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{BP}$，
∴BC=$\sqrt{3}$x．
在△ACB中，AB²=AC²+BC²，
∴4=x²+3x²，
∴x=1，
∴AC=1．

点评 本题考查直线与圆相切，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．