Question

9．已知命题p：函数f（x）=-x²+4ax+3在区间（-∞，1]上是单调增函数；命题q：函数g（x）=lg（x²+2ax+a）的定义域为R，如果命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的性质分别求出命题p，q成立的等价条件建立复合命题真假关系进行求解即可．

解答 解：因为函数f（x）=-x²+4ax+3在区间（-∞，1]上是单调增函数，
所以对称轴方程x=-$\frac{4a}{2×（-1）}$≥1，所以a≥$\frac{1}{2}$，…（3分）
又因为函数g（x）=lg（x²+2ax+a）的定义域为R，
所以△=（2a）²-4a＜0，解得0＜a＜1，…（6分）
又因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以命题p，q一真一假，…（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤0}\\{a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，…（12分）
所以a≥1或0＜a＜$\frac{1}{2}$，
所以实数a的取值范围是{a|a≥1或0＜a＜$\frac{1}{2}$}．                …（14分）

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．