Question

14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）+2，则f（1）=1；$\underset{\stackrel{20}{∑}}{k=1}$f（k）=210．（注：$\sum_{k=1}^{n}$a_k=a₁+a₂+…+a_n）

Answer 1

分析 由题意可得 f（0）=0，f（x+2）=f（x）+2，由此求得f（1）、f（2）、f（3）、…、f（20）的值，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（20）的值．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，
又对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）+2，
令x=-1，可得f（1）=f（-1）+2=-f（1）+2，∴f（1）=1．
令x=0，可得f（2）=f（0）+2=2，
令x=1，可得f（3）=f（1）+2=3，
令x=2，可得f（4）=f（2）+2=4，
令x=3，可得f（5）=f（3）+2=5，…
以此类推，可得f（n）=n，n∈[1，20]，
∴$\underset{\stackrel{20}{∑}}{k=1}$f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（20）=1+2+3+…+20=210，
故答案为：1； 210．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质，求函数的值，属于基础题．