Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2，若方程f（x）+m=0在区间[

1

e

，e]内有两个不等实根，则实数m的取值范围是

 

（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=-3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出a，b，再确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．

解答： 解：函数f（x）=alnx-bx²的导数f′（x）=

a

x

-2bx，
由切线方程得f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2=2ln2-4．
解得a=2，b=1．
则f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h′（x）=

2

x

-2x，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

，e]内，当x∈[

1

e

，1）时，h'（x）＞0，即h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，即h（x）是减函数．
则方程h（x）=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根的充要条件是

h( 1 e )≤0 h(1)＞0 h(e)≤0

，
即1＜m≤2+

1

e2

．
故答案为：（1，2+

1

e2

]．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．