题目内容
设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n．
（1）求a3，a4；
（2）证明：{an+1-2an}是等比数列．
（1）求a3，a4；
（2）证明：{an+1-2an}是等比数列．
考点：等比数列的性质,数列的求和
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）再写一式，两式相减，即可证明{an+1-2an}是等比数列．
（2）再写一式，两式相减，即可证明{an+1-2an}是等比数列．
解答：
（1）解：n=1时，S1=2a1-2，∴a1=2；
n=2时，S2=2a2-4，∴a2=6；
n=3时，S3=2a3-8，∴a3=16；
n=4时，S4=2a4-16，∴a4=40；
（2）证明：∵Sn=2an-2n，
∴Sn+1=2an+1-2n+1．
两式相减可得，an+1-2an=2n，
∴{an+1-2an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
n=2时，S2=2a2-4，∴a2=6；
n=3时，S3=2a3-8，∴a3=16；
n=4时，S4=2a4-16，∴a4=40；
（2）证明：∵Sn=2an-2n，
∴Sn+1=2an+1-2n+1．
两式相减可得，an+1-2an=2n，
∴{an+1-2an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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