Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°CD∥AB，AB=2

2

，AD=CD=

2

，M为AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．

（1）求证：DC⊥AD；
（2）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出BC⊥面ADC，由此能证明BC⊥AD．
（2）取取AC中点O，连OD，OM，以O为空间直角坐标系的坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-CD-M的余弦值．

解答： （1）证明：∵面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，
BC?面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥面ADC．…（3分）
∵AD?面ADC，∴BC⊥AD．…（4分）
（2）取取AC中点O，连OD，OM，
∴AO=OC，AM=MB，∴OM∥BC，且OM=

1

2

BC，
∵BC⊥AC，∴OM⊥AC，
∵AD=DC，AO=OC，∴OD⊥AC，
∵BC⊥面ADC，OC?面ADC，
∴OD⊥BC，∵BC∥OM，∴OD⊥OM，
∴OD，OA，OM三条线两两垂直，…（6分）
以O为空间直角坐标系的坐标原点，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（1，0，0），M（0，1，0），C（-1，0，0），B（-1，2，0），D（0，0，1），…（8分）
∴

MC

=(-1，-1，0)，

MD

=(1，1，0)，
由题意知面ACD法向量

m

=（0，1，0），
设平面MCD法向量

n

=(x，y，z)，
则 

MC • n =-x-y=0 MD • n =-y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-1），…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=-

3

3

，…（11分）
∴二面角A-CD-M的余弦值为

3

3

．…．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．