Question

已知a+b+c=1，若不等式2a²+3b²+c²≥|x+1|对a，b，c∈R恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式

分析：由柯西不等式得2a²+3b²+c²≥

6

11

，从而不等式2a²+3b²+c²≥|x+1|对a，b，c∈R恒成立，可以转化为|x+1|≤

6

11

，即可求出实数x的取值范围．

解答： 解：由柯西不等式得：（

1

2

+

1

3

+1）（2a²+3b²+c²）≥（

1

2

•

2

a+

1

3

•

3

b+1•c）²=（a+b+c）²=1
∴2a²+3b²+c²≥

6

11

，
∵不等式2a²+3b²+c²≥|x+1|对a，b，c∈R恒成立，
∴|x+1|≤

6

11

，…（5分）
∴-

6

11

≤x+1≤

6

11

，
∴-

17

11

≤x≤-

5

11

，
故所求x的取值范围是-

17

11

≤x≤-

5

11

…（7分）

点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．