Question

（1）当x＜

3

2

时，求函数y=x+

8

2x-3

的最大值；
（2）当0＜x＜

1

2

时，求函数y=

1

2

x（1-2x）的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得3-2x＞0，可得y=-（

3-2x

2

+

8

3-2x

）+

3

2

≤-2

3-2x 2 • 8 3-2x

+

3

2

=-

5

2

，注意等号成立的条件即可；
（2）由题意可得1-2x＞0，可得y=

1

4

•2x•（1-2x）≤

1

4

（

2x+1-2x

2

）²=

1

16

，注意等号成立的条件即可．

解答： 解：（1）∵x＜

3

2

∴，2x-3＜0，即3-2x＞0
∴y=x+

8

2x-3

=

1

2

（2x-3）+

8

2x-3

+

3

2

=-（

3-2x

2

+

8

3-2x

）+

3

2

≤-2

3-2x 2 • 8 3-2x

+

3

2

=-

5

2

，
当且仅当

3-2x

2

=

8

3-2x

即x=-

1

2

时取等号，
∴当x＜

3

2

时，求函数y=x+

8

2x-3

的最大值为-

5

2

；
（2）∵0＜x＜

1

2

，∴1-2x＞0，
∴y=

1

2

x（1-2x）=

1

4

•2x•（1-2x）≤

1

4

（

2x+1-2x

2

）²=

1

16

．
当且即当2x=1-2x即x=

1

4

时取等号，
∴当0＜x＜

1

2

时，求函数y=

1

2

x（1-2x）的最大值为

1

16

点评：本题考查基本不等式，凑出基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．