Question

已知a＞0，且a≠1，设p：函数y=a^X在R上单调递减，Q：函数f（x）=x²-2ax+1在（

1

2

，+∞）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先根据两个命题都真命题时，求出a的取值范围，然后，根据由“P∧Q”为假，P∨Q为真知P和Q有且只有一个为真．进行讨论，完成求解过程．

解答： 解：根据题意，
p真：0＜a＜1，
Q真：0＜a≤

1

2

，
由“P∧Q”为假，P∨Q为真知P和Q有且只有一个为真．
（1）当P真Q假时，{a|0＜a＜1}∩{a?a＞

1

2

且a≠1}={a?

1

2

＜a＜1}
（2）当P假Q真时{a?a＞1}∩{a|0＜a≤

1

2

}=?
综上可知：

1

2

＜a＜1．
∴实数a的取值范围（

1

2

，1）．

点评：本题重点考查了复合命题的真值表和判断、命题的真假判断等知识，属于中档题．