题目内容
如图，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则| AM |
| DC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：建立适当的直角坐标系，求出相关点的坐标，求出
与
，然后求解
•
的表达式，求出最大值即可．
| AM |
| DC |
| AM |
| DC |
解答：
解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-2，0），C
（2，0），O（0，0），M（2，-2），设D（2cosα，2sinα）．
∴
=（4，-2），
=（2-2cosα，-2sinα）．
•
=4×（2-2cosα）+4sinα
=8-8cosα+4sinα
=8+4
sin（α-θ），其中tanθ=2．
sin（α-θ）∈[-1，1]，
∴
•
的最大值是8+4
．
故答案为：8+4
．
解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，-2），设D（2cosα，2sinα）．
∴
| AM |
| DC |
| AM |
| DC |
=8-8cosα+4sinα
=8+4
| 5 |
sin（α-θ）∈[-1，1]，
∴
| AM |
| DC |
| 5 |
故答案为：8+4
| 5 |
点评：本题给出直角三角形内的动点，求向量数量的最大值，着重考查了解三角形和平面向量的数量积公式等知识，属于中档题．
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