Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA⊥AD． E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角E-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取PD的中点G，连接FG，AG，证明四边形AEFG是平行四边形，可得EF∥AG，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）先证明AB，AD，AP两两垂直，再建立空间直角坐标系，证明

EF

•

PD

=0，

EF

•

CD

=0，可得EF⊥PD，EF⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得EF⊥平面PCD；
（Ⅲ）求出平面EPD的法向量，平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-PD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，AG．
因为F，G分别是PC，PD的中点，
所以FG是△PCD的中位线．
所以FG∥CD，且FG=

1

2

CD．
又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，
所以AE=

1

2

AB=

1

2

CD，且AE∥CD．
所以AE∥FG，且AE=FG．
所以四边形AEFG是平行四边形．
所以EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．                                    …（4分）
（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PA⊥平面ABCD．
所以PA⊥AB，PA⊥AD．
又因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两垂直，以点A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系（如图）．  
由题意易知AB=AD=AP，
设AB=AD=AP=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，0），F（1，1，1）．
因为

EF

=（0，1，1），

PD

=（0，2，-2），

CD

=（-2，0，0），
所以

EF

•

PD

=0，

EF

•

CD

=0，
所以EF⊥PD，EF⊥CD．
又因为PD，CD相交于D，
所以EF⊥平面PCD．     …（9分）
（Ⅲ）易得

EP

=（-1，0，2），

PD

=（0，2，-2）．
设平面EPD的法向量为

n

=（x，y，z），则

-x+2z=0 2y-2z=0

，即

x=2z y=z

，
令z=1，则

n

=（2，1，1）．
由（Ⅱ）可知平面PCD的法向量是

EF

=（0，1，1），
所以cos＜

n

，

EF

＞=

n • EF

| n || EF |

=

2

2 • 6

3

3

．
由图可知，二面角E-PD-C的大小为锐角，
所以二面角E-PD-C的余弦值为

3

3

．      …（14分）

点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．