Question

定义函数fk(x)=

alnx

xk

为f（x）的k阶函数．
（1）求一阶函数f₁（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，讨论方程f₂（x）=1的解的个数；
（3）求证：3lnx≤x³e^x-1．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：

分析：（1）令k=1，写出f₁（x）的表达式，再求导，分成a＞0，a＞0，a=0三种情况讨论，注意到函数的定义域．
（2）由f₂（x）=1，得

lnx

x2

=

1

a

，使问题转化成求函数y=

lnx

x2

和y=

1

a

的交点个数．考虑函数g(x)=

lnx

x2

(x＞0)，利用求导的方法对其单调性进行研究，同时注意到着g（x）的取值，数形结合求解．
（3）取a=1，k=3时的情况，即f3(x)=

lnx

x3

(x＞0)，利用求导的方法研究其范围，得到不等式3lnx≤

x3

e

，再结合着e^x＞1，即证得不等式成立．

解答： 解：（1）f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，f′1(x)=

a-alnx

x2

=

a(1-lnx)

x2

(x＞0)
当a=0时，f′₁（x）=0，f₁（x）无单调区间；
当a≠0时，令f′₁（x）=0，解得x=e．
当a＞0时，f₁（x）的单调增区间为（0，e），单减区间为（e，+∞）；
当a＞0时，f₁（x）的单调增区间为（e，+∞），单减区间为（0，e）．
（2）由

alnx

x2

=1得：

lnx

x2

=

1

a

．
令g(x)=

lnx

x2

(x＞0)．则g′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

．由g′（x）=0得x=

e

，
从而g（x）在(0，

e

)单调递增，在(

e

，+∞)单调递减.g(x)max=g(

e

)=

1

2e

．
当x→0时，g（x）→-∞；当x→+∞时，g（x）→0．
∴当0＜

1

a

＜

1

2e

，即a＞2e时，方程有两个不同解．
当

1

a

＞

1

2e

，即0＜a＜2e时，方程有0个解．
当

1

a

=

1

2e

，或即a=2e时，方程有唯一解．
综上，当a＞2e时，方程有两个不同解．当0＜a＜2e时，方程有0个解．当a=2e，方程有唯一解．
（3）特别地，当a=1时，由f3(x)=

lnx

x3

(x＞0)得：f′3(x)=

x2-3x2lnx

x6

=

1-3lnx

x4

，
由f′₃（x）=0得x=e

1

3

，
则f₃（x）在(0，e

1

3

)单调递增，在(e

1

3

，+∞)单调递减.f3(x)max=f3(e

1

3

)=

1

3e

．
∴f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即3lnx≤

x3

e

．又x＞0时，e^x＞1．
∴3lnx≤x³e^x-1．

点评：导数是高考中常考内容，常见的形式有选择题，填空题和解答题，特别是解答题，往往都有一定的难度，需要学生考前多练习，多研究，如第三问中，要观察所证等式的特征，寻找相应的参数值，从而代入计算