Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，nan+1=Sn+n(n+1) (n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）na_n+1=S_n+n（n+1）①⇒n≥2时，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）②，两式相减可得a_n+1-a_n=2（n≥2），再计算a₂-a₁=2，从而知数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，从而可得其通项公式；
（2）利用裂项法知b_n=

1

anan+1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），从而可求数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）∵na_n+1=S_n+n（n+1），①
∴n≥2时，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），②
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n（n≥2），
即a_n+1-a_n=2（n≥2）．
在①中令n=1，有a₂=a₁+2，即a₂-a₁=2，
故对?n∈N^*，a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，a_n=2n，n∈N^*．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

n

4n+4

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及其通项公式的应用，突出裂项法求和的考查，属于中档题．