题目内容
已知椭圆C：
+
=1和⊙O：x2+y2=9，过⊙O上一动点P（m，n）引椭圆C的两条不平行于坐标轴的切线PS、PT交⊙O分别为S、T两点，则∠SPT= ．
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设过点P（m，n）切线为y-n=k（x-m），与椭圆的方程联立可得（4+5k2）x2+10k（n-km）x+5（n-km）2-20=0，利用△=0，可得（5-m2）k2+2mnk+4-n2=0，可得k1k2=
．由于1+k1k2=0．即可得出．
| 4-n2 |
| 5-m2 |
解答：
解：设过点P（m，n）切线为y-n=k（x-m），n2+m2=9．
联立
，化为（4+5k2）x2+10k（n-km）x+5（n-km）2-20=0，
∴△=100k2（n-km）2-20（4+5k2）[（n-km）2-4]=0，
化为（5-m2）k2+2mnk+4-n2=0，
∴k1k2=
．
∴1+k1k2=1+
=
=0．
∴k1k2=-1．
∴∠SPT=90°．
故答案为：90°．
联立
|
∴△=100k2（n-km）2-20（4+5k2）[（n-km）2-4]=0，
化为（5-m2）k2+2mnk+4-n2=0，
∴k1k2=
| 4-n2 |
| 5-m2 |
∴1+k1k2=1+
| 4-n2 |
| 5-m2 |
| 9-m2-n2 |
| 5-m2 |
∴k1k2=-1．
∴∠SPT=90°．
故答案为：90°．
点评：本题考查了椭圆的切线性质、直线与椭圆相切转化为方程联立可得△=0及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| x |
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