Question

已知ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC中点．求证：MN⊥AB．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：由面面垂直的性质得到PA，AB，AD两两垂直，进一步证明AB垂直平面MNK即可．

解答： 证明：∵ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PA；AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，
∵M，N分别是AB，PC中点．过M作MK∥BC，则K为PC的中点，连接NK，则NK∥PA，
∴MK⊥AB，NK⊥AB，
∴AB⊥平面MNK．
∴AB⊥MN．即MN⊥AB．

点评：本题考查了面面垂直的性质以及线面垂直的判定和性质定理的运用，关键是将面面垂直、线面垂直转化为线线垂直．