Question

在R上定义运算?：x?y=x（2-y），已知f（x）=（x+1）?（x+1-a）．
（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}，求实数a，b；
（2）对于任意的x，不等式f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由新定义可得f（x）=（x+1）（a+1-x），由f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}可得b和1为方程（x+1）（a+1-x）=0的根，易得答案；
（2）由题意可得（x+1）（a+1-x）≤1恒成立，即x²-ax-a≥0恒成立，由△=a²+4a≤0可得a的范围．

解答： 解：（1）∵x?y=x（2-y），
∴f（x）=（x+1）?（x+1-a）
=（x+1）[2-（x+1-a）]
=（x+1）（a+1-x），
又∵f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}，
∴b和1为方程（x+1）（a+1-x）=0的根，
∴b=-1，a+1=b，解得a=0，b=-1；
（2）∵对于任意的x，不等式f（x）≤1恒成立，
∴（x+1）（a+1-x）≤1恒成立，
化简可得x²-ax-a≥0恒成立，
∴△=a²+4a≤0，解得-4≤a≤0，
∴实数a的取值范围为[-4，0]

点评：本题考查不等式的解集，涉及新定义和恒成立问题，属中档题．