Question

已知f（x）为R上的偶函数，且f（1）=0，当x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），则不等式

f(x)+2•f(-x)

x

＜0的解为（　　）

• A、（-1，1）
• B、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• C、（-∞，-1）∪（0，1）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可．

解答： 解：∵f（x）为R上的偶函数，当x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（-1）=f（1）=0，
则不等式等价为

3f(x)

x

＜0，
即

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

．
则

x＞0 f(x)＜f(1)

，或

x＜0 f(x)＞f(-1)

，
即0＜x＜1或x＜-1，
即不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，1），
故选：C

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．