Question

中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁舰”以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术在进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格的概率分别为

3

4

，

2

3

，

1

2

．指标甲、乙、丙合格分别记为6分，3分，6分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
（1）求该项技术量化检测得分不低于12分的概率；
（2）记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量Y，求Y的分布列与数学期望（结果用分数表示）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，事件“得分不低于8分”表示为ABC+A

.

B

C．利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出结果．
（2）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，
则事件“得分不低于12分”表示为ABC+A

.

B

C．
∴ABC与A

.

B

C为互斥事件，且A、B、C为彼此独立，
∴P（ABC+A

.

B

C）=P（ABC）+P（A

.

B

C）
=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）
=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

=

3

8

；
（2）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数Y的取值为0，1，2，3，（6分）
∵P（Y=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

24

，
P（Y=1）=P（A

.

B

.

C

+

.

A

B

.

C

+

.

A

.

B

C）=

1

4

，
P（Y=2）=P（AB

.

C

+

.

A

BC+A

.

B

C）=

11

24

，
P（Y=3）=P（ABC）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

．
随机变量Y的分布列为

Y	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

∴EY=0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

．

点评：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、相互独立和互斥事件的概率计算公式，属于中档题．