Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，0）．
（1）求向量

b

+

c

的模的最大值；
（2）设α=

π

3

，且

a

•（

b

+

c

）=

1

2

，求sinβ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的坐标运算、数量积的性质、余弦函数的单调性有界性即可得出；
（2）利用向量的坐标运算、数量积的运算、两角和差的正弦公式、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答： 解：（1）∵

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，0）．
∴|

b

+

c

|=|（cosβ-1，sinβ）|=

(cosβ-1)2+sin2β

=

2-2cosβ

≤

2-2×(-1)

=2，当cosβ=-1时取等号．
∴向量

b

+

c

的模的最大值是2．
（2）∵α=

π

3

，∴

a

=(

1

2

，

3

2

)．
又

b

+

c

=（cosβ-1，sinβ）．
∴

1

2

=

a

•（

b

+

c

）=

1

2

(cosβ-1)+

3

2

sinβ，
化为

3

sinβ+cosβ=2，
∴2sin(β+

π

6

)=2，即sin(β+

π

6

)=1．
∴cos(β+

π

6

)=0．
∴sinβ=sin[(β+

π

6

)-

π

6

]=sin(β+

π

6

)cos

π

6

-cos(β+

π

6

)sin

π

6

=

3

2

．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积的性质、余弦函数的单调性有界性、两角和差的正弦公式、同角三角函数基本关系式等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．