Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定切线的斜率，可得切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可，从而可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

．
因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程是y=-2；
（Ⅱ）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=

2ax2-(a+2)x+1

x

（x＞0）
令f′（x）=0，可得x=

1

2

或x=

1

a

．
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（

1

a

）=-1-

1

a

+ln

1

a

；
当

1

a

≥e时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）=ae²-（a+2）e+1；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可
而g′（x）=

2ax2-ax+1

x

当a=0时，g′（x）=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．
综上0≤a≤8．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确构造函数的关键．