Question

在四棱锥P-ABCD中，PA=PB．底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°．E在棱PD上，满足PE=2DE，M是AB的中点．
（1）求证：平面PAB⊥平面PMC；
（2）求证：直线PB∥平面EMC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据已知中，PA=PB．底面ABCD是菱形点M是AB的中点，根据等边三角形的‘三线合一’的性质，我们易得到AB⊥平面PMC，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）连BD交MC于F，连EF，由CD=2BM，CD∥BM，我们可以得到△CDF∽△MBF，根据三角形相似的性质，可以得到DF=2BF．再根据DE=2PE，结合平行线分线段成比例定理，易判断EF∥PB，结合线面平行的判定定理，即可得到结论．

解答： 证明：（1）∵PA=PB，M是AB的中点．
∴PM⊥AB．（2分）
∵底面ABCD是菱形，∴AB=AC．
∵∠ABC=60°．
∴△ABC是等边三角形．
则：CM⊥AB
又∵PM∩CM=M
∴AB⊥平面PAB
∴平面PAB⊥平面PMC
（2）连结BD交MC于F，连结EF
由CD=2BM  CD∥BM
易得：△CDF∽△MBF
∴DF=2BF
DE=2PE
∴EF∥PB
EF?平面EMC  PB?平面EMC
∴PB∥平面EMC

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，及三角形的相似问题．