Question

已知曲线C：

x2

a 2 n

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的一个焦点为F（

n2+1

，0）．
（1）求a_n，
（2）令b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于曲线C：

x2

a 2 n

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的一个焦点为F（

n2+1

，0）．可得

a

2 n

+1=n²+1，解出即可．
（2）由于b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵曲线C：

x2

a 2 n

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的一个焦点为F（

n2+1

，0）．
∴

a

2 n

+1=n²+1，
∴a_n=n．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了双曲线的性质、“裂项求和”的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．