Question

已知函数f（x）=

-x，x＜0 x ，x≥0

，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、C（0，1）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：作出函数f（x）的图象，关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线y=

x

相交时，与f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线y=

x

相切时的斜率，即可得到a的取值范围．

解答： 解：作出函数f（x）的图象，如右图：
作出直线y=a（x+1），则直线恒过（-1，0），
关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=

x

相交时，
与f（x）的图象有三个交点，
当直线与曲线y=

x

相切时，设切点为（m，

m

），
则y′=

1

2

•

1

x

，则切线斜率为

1

2

•

1

m

=a，
又a（m+1）=

m

，由此解得，a=

1

2

（负的舍去），
故a的取值范围是（0，

1

2

）．
故选D．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和应用，考查数形结合的思想方法，以及运用导数求切线方程，属于中档题．