Question

已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若棱锥E-DFC的体积为

3

24

，求a的值；
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出

AP

AC

的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出EF∥AB，由此能证明AB∥平面DEF．
（Ⅱ）将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中点M，则EM∥AD，EM⊥平面BCD，且EM=

a

2

，由此利用棱锥的体积能求出a．
（Ⅲ）线段AC上存在一点P，使BP⊥DF．三角形BDF为正三角形，过B做BK⊥DF，延长BK交DC于K，过K做KP∥DA，交AC于P．则点P即为所求．利用空间几何知识能进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）AB∥平面DEF，
如图．在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，
又AB不包含于平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．…（4分）
（Ⅱ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中点M，则EM∥AD，
∴EM⊥平面BCD，且EM=

a

2

，
∵棱锥E-DFC的体积为

3

24

，
∴V=

1

3

×

a

4

×

3 a2

16

=

3

24

，解得a=2．…（8分）
（Ⅲ）线段AC上存在一点P，使BP⊥DF．
三角形BDF为正三角形，过B做BK⊥DF，
延长BK交DC于K，过K做KP∥DA，交AC于P．则点P即为所求．
证明：∵AD⊥平面BCD，KP∥DA，
∴PK⊥平面BCD，PK⊥DF，又 BK⊥DF，PK∩BK=K，
∴DF⊥平面PKB，DF⊥PB．又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°，∴DK=KF=KC/2．
故AP：OC=1：2，AP：AC=1：3   …（12分）

点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查实数的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．