题目内容

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
，给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，4]；
②关于x的方程f(x)=
1
2
有6个不相等的实根；
③当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=2；
④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立．
其中你认为正确的所有结论的序号为
 
．
考点：命题的真假判断与应用,函数的值域,函数的零点
专题：函数的性质及应用
分析：由已知解析式，画出函数的图象，进而根据图象得出答案．
解答： 解：当1≤x≤
3
2
时，f（x）=4+8(x-
3
2
)=8x-8；当
3
2
＜x≤2时，f（x）=4-8(x-
3
2
)=-8x+16．
当2＜x≤3时，1＜
x
2
≤
3
2
，f（x）=
1
2
f(
x
2
)=
1
2
(8×
x
2
-8)=2x-4；
当3＜x≤4时，
3
2
＜
x
2
≤2，f（x）=
1
2
(-8×
x
2
+16)=-2x+8．
当4＜x≤6时，2＜
x
2
≤3，f（x）=
1
2
(2×
x
2
-4)=
1
2
x-2；
当6＜x≤8时，3＜
x
2
≤4，f（x）=
1
2
(-2×
x
2
+8)=-
1
2
x+4．…．
画出函数f（x）的图象：
由图象可知：
①函数f（x）的值域为[0，4]，正确；
②关于x的方程f(x)=
1
2
有7个不相等的实根，因此②不正确；
③当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=
1
2
×1×4=2，正确；
④画出函数y=
6
x
(x＞0)的图象，可知与函数y=f（x）有交点，
如x=
3
2
，3，6等，因此不存在x0∈[1，8]，使得不等式f(x0)＞
6
x0
即x0f（x0）＞6成立，因此正确．
综上可知：①③④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了分段函数的解析式、图象及其性质，考查了分类讨论、数形结合的思想方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
如图，设向量
OA
=（3，1），
OB
=（1，3），若
OC
=λ
OA
+μ
OB
，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（　　）
A、
B、
C、
D、
已知函数f（x）=sinxcos（x+
π
3
）+
3
4
．
（Ⅰ）当x∈[-
π
3
，
π
6
]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
3
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的
1
2
倍，纵坐标保持不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的表达式及对称轴方程．
已知函数f（x）=x2+mx+n，且f（x+2）是偶函数，求m值．
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=2，当x1、x2∈[-1，1]，且x1+x2≠0时，有
f(x1)+f(x2)
x1+x2
＞0，若f（x）≥m2-2am-5对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是
 
．
某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程
∧
y
=
∧
b
x+
∧
a
一定过点
 
．
已知平面向量
a
=（2，4），
b
=（1，-2），若
c
=
a
-（
a
•
b
）
b
，则|
c
|=
 
．
已知函数f（x）=-2x2+|x|+1，若f（log2m）＞f（3），则实数m的取值范围是
 
．
在△ABC中，若（
CA
+
CB
）•
AB
=|
AB
|2，则（　　）
A、△ABC是锐角三角形
B、△ABC是直角三角形
C、△ABC是钝角三角形
D、△ABC的形状不能确定

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网