Question

定义运算A

m x

=x（x-1）（x-2）…（x-m+1），其中x∈R，m∈N，已知函数f（x）=aA

3 x+1

-12A

2 x

+1，（a∈R，且a≠0）在x=1处取得极值，且方程f（x）=6x-

16

x

在区间（m，m+1）（m∈N*）内有且只有两两不相等的实数根，则（1）实数a的值为

 

；（2）正整数m的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意，设f（x）=a（x+1）x（x-1）-12x（x-1）+1=ax³-12x²-（a-12）x+1，求导并令导数为0即可求a，再化简方程f（x）=6x-

16

3

等价于18x³-36x²+19=0，从而令g（x）=18x³-36x²+19，求导判断函数的单调性及极值点，从而求得m的值．

解答： 解：由题意，设f（x）=a（x+1）x（x-1）-12x（x-1）+1=ax³-12x²-（a-12）x+1，
∴f′（x）=3ax²-24x-（a-12），
f′（1）=3a-24-（a-12）=0，
故a=6；
方程f（x）=6x-

16

3

等价于18x³-36x²+19=0．
令g（x）=18x³-36x²+19．
则g'（x）=54x²-72x=18x（3x-4），
令g'（x）=0得x=0或x=

4

3

；
当x∈（0，

4

3

）时，g'（x）＜0，g（x）是单调递减函数；
当x∈（

4

3

，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是单调递增函数；
∵g（1）=1＞0，g（

4

3

）=-

7

3

＜0，g（2）=19＞0，
∴方程g（x）=0在区间（1，

4

3

），（

4

3

，2）内分别有唯一实根；
∴存在正整数m=1使得方程f（x）=6x-

16

3

在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数根；
故答案为：6，1．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的个数的判断，属于中档题．