Question

在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

，若|

OP

|＜

1

2

，则|

OA

|的最大值是

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：计算题,平面向量及应用

分析：根据条件可得，A，B₁，P，B₂构成矩形AB₁PB₂，以AB₁，AB₂所在直线为x，y轴建立直角坐标系，设|

AB1

|=a，|

AB2

|=b，O（x，y），则P（a，b），运用向量的平方即为模的平方，得到x，y的关系式，由条件|

OP

|＜

1

2

，化简变形，即可得到

7

4

＜x2+y2≤2，进而得到|

OA

|的最大值．

解答： 解：根据条件可得，A，B₁，P，B₂构成矩形AB₁PB₂，
以AB₁，AB₂所在直线为x，y轴建立直角坐标系，
设|

AB1

|=a，|

AB2

|=b，O（x，y），则P（a，b），
由|

OB1

|=|

OB2

|=1，得

(x-a)2+y2=1 x2+(y-b)2=1

则有

(x-a)2=1-y2 (y-b)2=1-x2

，
由于|

OP

|＜

1

2

，则（x-a）²+（y-b）²＜

1

4

，
即有1-y²+1-x²＜

1

4

，即x²+y²＞

7

4

，
由于y²=1-（x-a）²≤1，即y²≤1，同理x²≤1，
即有x²+y²≤2，
则有

7

4

＜x2+y2≤2，由于|

OA

|=

x2+y2

，即

7

2

＜|

OA

|≤

2

．
即最大值为

2

，此时O与P重合．
故答案为：

2

．

点评：本题考查平面向量的运用，考查坐标法解决向量问题的方法，注意运用向量的平方即为向量的模，考查运算能力，属于中档题．