Question

设△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且3b²=2ac（1+cosB）．
（1）证明：a、b、c成等差数列；
（2）若a=3，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列,解三角形

分析：（1）由已知化简可得2b=a+c，从而可证明a、b、c成等差数列；
（2）先由余弦定理求出sinC的值，从而可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）3b²=2ac（1+cosB）=2ac+2ac×

a2+c2-b2

2ac

=2ac+a²+c²-b²
故有：4b²=2ac+a²+c²，
解得：2b=a+c．
故a、b、c成等差数列；
（2）由（1）可得c=2b-a=7，
则由余弦定理知：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

9+25-49

30

=-

1

2

，
由0＜C＜π，即可求得sinC=

1-cos2C

=

3

2

，
故得：S_△ABC=

1

2

×a×b×sinC=

1

2

×3×5×

3

2

=

15 3

4

．

点评：本题主要考察了余弦定理的综合应用，属于中档题．