Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，CB=3CG
（Ⅰ）求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求三棱锥C-DEG的体积；
（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（I）由PD⊥BC，BC⊥CD，推出BC⊥平面PCD，从而证明 PC⊥BC．
（II）由GC是三棱锥G-DEC的高，三棱锥C-DEG的体积和三棱锥G-DEC的体积相等，
通过求三棱锥G-DEC的体积得到三棱锥C-DEG的体积．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG，由三角形相似可得AM=CG=

2

3

．

解答： （Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD
∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD…（3分）
又∵PC?面PBC
∴PC⊥BC…（4分）
（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G-DEC的高  …（5分）
∵E是PC的中点，
∴S△EDC=

1

2

S△EDC=

1

2

S△PDC=

1

2

•(

1

2

•2•2)=1…（6分）
∴VC-DEG=VG-DEC=

1

3

GC•S△DEC=

1

3

•

2

3

•1=

2

9

…（8分）
（Ⅲ）解：连结AC，取AC中点O，连结EO，GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG…（9分）
下面证明之
∵E为PC的中点，O是AC的中点，
∴EO∥PA，…（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG
∴PA∥平面MEG…（11分）
在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=

2

3

，∴所求AM的长为

2

3

．…（12分）

点评：本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．