Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y+m=0（m＜5）被直线l：x+y-5=0截得的弦长为2

2

．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P（x，y）为圆C上一动点，求x²+y²+6x+2y的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求圆C的方程；
（2）x²+y²+6x+2y=（x+3）²+（y+1）²-10表示点P（x，y）到定点M（-3，-1）的距离的平方减去10，即可求x²+y²+6x+2y的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由x²+y²-2x-4y+m=0，得（x-1）²+（y-2）²=5-m，
所以圆的圆心坐标是C（1，2）．
∵圆C：x²+y²-2x-4y+m=0（m＜5）被直线l：x+y-5=0截得的弦长为2

2

，
∴(

1+2-5

2

)2+2=r2，
∴r=2，
∴圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=4；
（2）x²+y²+6x+2y=（x+3）²+（y+1）²-10表示点P（x，y）到定点M（-3，-1）的距离的平方减去10，
∴x²+y²+6x+2y的最大值为（|CM|+r）²-10=39，最小值为（|CM|-r）²-10=-1．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，属于中档题．