Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+

3

cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜

π

2

)为奇函数，且函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴之间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f（

π

6

）的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数的奇偶性求出φ，由周期求出ω，可得函数的解析式，从而求得f（

π

6

）的值．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递增区间

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin(ωx+φ)+

3

cos(ωx+φ)=2[

1

2

sin(ωx+φ)+

3

2

cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ+

π

3

)．
因为f（x）为奇函数，所以f(0)=2sin(φ+

π

3

)=0，又0＜|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

3

．
所以f（x）=2sinωx，由题意得

2π

ω

=2•

π

2

，所以ω=2．
故f（x）=2sin2x，因此f(

π

6

)=2sin

π

3

=

3

． 
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到f(x-

π

6

)的图象，
所以g(x)=f(x-

π

6

)=2sin[2(x-

π

6

)]=2sin(2x-

π

3

)．
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）时，g（x）单调递增，
因此g（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．