Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

+x（a∈R）．
（1）如果函数f（x）在区间（1，+∞）上不是单调递增，求a的取值范围；
（2）若以函数y=f（x）-x（0＜x≤3）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值；
（3）当a=2时，在集合{m|0≤m≤1或

3

2

≤m≤3}内随机取一个实数m，设事件M：函数g（x）=f（x）-mx有零点，求事件M发生的概率．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,几何概型

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

x2+x-a

x2

，由题意可得f′（1）＜0，即可解得a的取值范围；
（2）k=y′|x=x0=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

（0＜x₀≤3）恒成立?a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，由二次函数的性质可得当x₀=1时，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值，问题得到解决．
（3）函数g（x）=f（x）-mx有零点，等价于g′（x）=

1

x

-

2

x2

+1-m=0，即m=

1

x

-

2

x2

+1，利用导数求得m的取值范围，即可求得结论．

解答： 解：（1）f（x）=lnx+

a

x

+x（a∈R）
∴f′（x）=

x2+x-a

x2

，
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上不是单调递增，
∴f′（1）＜0，即1+1-a＜0，∴a＞2．
（2）∵y=f（x）-x=lnx+

a

x

（0＜x≤3），
y′=

x-a

x2

（0＜x≤3），k=y′|x=x0=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

（0＜x₀≤3）恒成立?a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，
∵当x₀=1时，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值

1

2

，
∴a≥

1

2

，
∴a_min=

1

2

．
（3）g（x）=f（x）-mx=lnx+

2

x

+x-mx，
∴g′（x）=

1

x

-

2

x2

+1-m，
∴函数g（x）=f（x）-mx有零点，等价于g′（x）=

1

x

-

2

x2

+1-m=0，即m=

1

x

-

2

x2

+1，
令p（x）=

1

x

-

2

x2

+1，则p′（x）=-

1

x2

+

4

x3

=

4-x

x3

，
∴x∈（0，4）时，p′（x）＞0，x∈（4，+∞）时，p′（x）＜0
∴p（x）_max=p（4）=

9

8

，
∴m≤

9

8

，
∴事件M发生的概率为P（M）=

1

1+3- 3 2

=

2

5

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与化归思想的综合运用，属于难题．