Question

已知线段AB的端点B的坐标为（4，3），端点A在圆（x+1）²+y²=4上运动．
（1）求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，若过点N（1，2）的直线l被轨迹C截得的线段长为

2

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用M、O′为AB、PB的中点，根据三角形中位线定理得出：MO′∥PA且MO′=

1

2

PA=1，从而动点M的轨迹为以O′为圆心，半径长为1的圆．最后写出其轨迹方程即可．
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．

解答： 解：（1）圆（x+1）²+y²=4的圆心为P（-1，0），半径长为2，
线段AB中点为M（x，y）
取PB中点O′，其坐标为（

3

2

，

3

2

）
∵M、O′为AB、PB的中点，
∴MO′∥PA且MO′=

1

2

PA=1．
∴动点M的轨迹为以O′为圆心，半径长为1的圆．
所求轨迹方程为：（x-

3

2

）²+（y-

3

2

^）2=1，可见，M的轨迹是以（

3

2

，

3

2

）为圆心，半径为1的圆．
（2）斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意；
斜率存在时，设方程为y-2=k（x-1），
∵过点N的直线l被曲线C截得的弦长为

2

，
∴圆心到直线的距离为

2

2

，
∴

| 3 2 k- 3 2 -k+2|

k2+1

=

2

2

，
∴k=1，
∴直线l的方程为x-y+1=0或x=1．

点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．定义法是若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．