Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-mx，m∈R．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的最大值为0，求实数m的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论m的范围，从而得出函数的单调性；（2）由题意得方程，解出即可．

解答： 解；（1）∵f′（x）=

1

x+1

-m，（x＞-1），
当m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＜

1

m

-1，
令f′（x）＜0，解得：x＞

1

m

-1，
∴f（x）在（-1，

1

m

-1）递增，在（

1

m

-1，+∞）递减；
当m≤0时，f′x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）递增；
（2）由（1）得：m＞0，
∴f（x）max=f（

1

m

-1）=-lnm-1+m=0，
∴me=e^m，∴m=1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，是一道中档题．