Question

已知函数f（x）=x²+2ax+1）•e^-x（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若存在x₀∈[-2，-1]，使得曲线y=-f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线倾斜角不大于45°，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求导数，然后通过解不等式确定原函数的单调区间；
（2）由题意可将问题转化为不等式的恒成立问题，最终通过研究函数的最值求解．

解答： 解（1）∵f（x）=（x²+2ax+1）•e^-x（a∈R）．
∴f′（x）=-e^-x（x-1）（x-（1-2a）），
①当a=0时，f′（x）=-e^-x（x-1）≤0恒成立，故函数在定义域内为减函数；
②当a＜0时，即1-2a＞1时，f′（x）＜0在（-∞，1）∪（1-2a，+∞）成立，故在（-∞，1），（1-2a，+∞）上f（x）为减函数，在[1，1-2a]上f′（x）＞0，故此时f（x）递增；
③当a＞0时，即1-2a＜1时，f′（x）＜0在（-∞，1-2a）∪（1，+∞）成立，故在（-∞，1-2a），（1，+∞）上f（x）为减函数，在[1-2a，1]上f′（x）＞0，故此时f（x）递增；
（2）y=-f（x）=（x²+2ax+1）•e^-x（a∈R）
所以y′=e^-x（x-1）（x-（1-2a）），x∈[-2，-1]
若切线的倾斜角不大于45°，则直线的斜率即：在切点处的导数值小于或等于1，
原函数y=-f（x）=-（x²+2ax+1）e^-x，所以y′=e^-x[（x-1）²+2a（x-1）]≤1，
化简得2a≥

ex

x-1

-(x-1)①，当x∈[-2，-1]恒成立，令g（x）=

ex

x-1

-(x-1)，
而(

ex

x-1

)′=

ex(x-2)

(x-1)2

当x∈[-2，-1]时小于0恒成立，所以函数y=

ex

x-1

在[-2，-1]上是减函数，且函数y=-（x-1）在[-2，-1]上也是减函数，
所以g（x）=

ex

x-1

-(x-1)，在区间[-2，-1]上是减函数，所以g(x)max=g(-2)=3-

e-2

3

，
所以要使①式恒成立，只需2a≥g(x)max=g(-2)=3-

e-2

3

，
即a≥

3

2

-

e-2

6

．

点评：本题充分考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义以及不等式恒成立问题的解题思想．