Question

设函数f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R） 
（1）已知函数F（x）=2f（x）-f（2x）有两个不同的零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在定义域x∈（-∞，1]上有意义，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的运算性质，将函数进行转化，利用二次函数根的取值建立不等式组，解不等式组即可得到结论．
（2）根据对数函数的性质，得到

1+2xa

2

＞0恒成立，利用参数分离法即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R）
∴F（x）=2f（x）-f（2x）=2lg

1+2xa

2

-lg

1+22xa

2

，
由F（x）=0得2lg

1+2xa

2

=lg

1+22xa

2

，
即（

1+2xa

2

）²=

1+22xa

2

，
∴

1+2a•2x+a2•22x

4

=

1+22xa

2

，
即（a²-2a）2^2x+2a?2^x-1=0，
设t=2^x，则t＞0，
则方程等价为（a²-2a）t²+2a?t-1=0，
∵函数F（x）=2f（x）-f（2x）有两个不同的零点，
∴（a²-2a）t²+2a?t-1=0有两个不同的正根，
则

△=4a2+4(a2-2a)＞0 - 1 a2-2a ＞0 -2a a2-2a ＞0

，
即

a2-a＞0 a2-2a＜0 a＞0

，
∴

a＞1或a＜0 0＜a＜2 a＞0

，即1＜a＜2，即a的取值范围是（1，2）；
（2）若函数f（x）在定义域x∈（-∞，1]上有意义，
则当x≤1时，

1+2xa

2

＞0恒成立，
即1+a•2^x＞0恒成立，
即a＞

-1

2x

，
∵x≤1，
∴-

1

2x

≤-

1

2

，
即a＞-

1

2

，
∴a的取值范围是a＞-

1

2

．

点评：本题主要考查对数的基本运算，以及对数函数的图象和性质，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．