Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为

x2

2

+y²=1．
（1）若一直线与椭圆C交于两不同点M，N，且线段MN恰以点（-1，-

1

4

）为中点，求直线MN的方程；
（2）过椭圆右焦点F做直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设

FA

=λ

FB

，点T坐标为（2，0），若λ∈[-3，-2]，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先判断直线MN与椭圆必有公共点，再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式，即可求直线MN的方程；
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，得到一元二次方程，进而利用向量的关系得到|

TA

+

TB

|²=（x₃+x₄-4）²+（y₃+y₄）²=16-

28

m2+2

+

8

(m2+2)2

，换元即可求|

TA

+

TB

|的取值范围．

解答： 解：（1））∵点（-1，-

1

4

）在椭圆内部，∴直线MN与椭圆必有公共点，
令点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
代入椭圆方程中，

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
两式作差，因式分解有：

(x1-x2)(x1+x2)

2

=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由中点坐标可得：x₁+x₂=-2，y₁+y₂=-

1

2

，
解得

y1-y2

x1-x2

=-2，
∴直线MN的方程为y=-2x-

9

4

；
（2）由题意容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=my+1，且设点A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
代入

x2

2

+y²=1中，得（m²+2）y²+2my-1=0．
∴y₃+y₄=-

2m

m2+2

①，y₃y₄=-

1

m2+2

②，
∵

FA

=λ

FB

，∴

y3

y4

=λ且λ＜0，
∴将上式①的平方除以②，得λ+

1

λ

+2=-

4m2

m2+2

，
由λ∈[-3，-2]，可得-

4

3

≤λ+

1

λ

+2≤

1

2

，
∴-

4

3

≤-

4m2

m2+2

≤

1

2

，
∴

2

7

≤m²≤1，
∵

TA

=（x₃-2，y₃），

TB

=（x₄-2，y₄），
∴|

TA

+

TB

|²=（x₃+x₄-4）²+（y₃+y₄）²=16-

28

m2+2

+

8

(m2+2)2

．
令t=

1

m2+2

，则

1

3

≤t≤

7

16

，
∴|

TA

+

TB

|²=16-28t+8t²=8（t-

7

4

）²-

17

2

，
∵

1

3

≤t≤

7

16

，
∴|

TA

+

TB

|²∈[

169

32

，

68

9

]，
∴|

TA

+

TB

|∈[

13 2

8

，

2 17

3

]．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系综合运用，考查点差法，考查向量知识的运用，综合性强．