Question

已知抛物线C：y=x²．过点M（1，2）的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P．
（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求|AB|；
（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直线l的方程为y=x+1，代入y=x²，消去y，求出方程的根，即可求|AB|；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）+2，代入y=x²，消去y整理得x²-kx+k-2=0，利用韦达定理，结合弦长公式求出|AB|，求出P的坐标，可求点P到直线l的距离，即可求△PAB面积的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，直线l的方程为y=x+1，代入y=x²，消去y，可得x²-x-1=0，
解得，x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

．
所以|AB|=

2

|

1+ 5

2

-

1- 5

2

|=

10

．       …（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）+2，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由y=k（x-1）+2代入y=x²，消去y整理得x²-kx+k-2=0，
于是x₁+x₂=k，x₁x₂=k-2，
又因为y′=（x²）′=2x，
所以，抛物线y=x²在点A，B处的切线方程分别为：y=2x₁x-x₁²，y=2x₂x-x₂²．
得两切线的交点P（

k

2

，k-2）．
所以点P到直线l的距离为d=

|k2-4k+8|

2 k2+1

．
又因为|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+k2

•

k2-4k+8

．
设△PAB的面积为S，所以S=

1

2

|AB|•d=

1

4

(

(k-2)2+4

)3≥2（当k=2时取到等号）．
所以△PAB面积的最小值为2．                              …（14分）

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．