Question

已知f（x）=lg

1-x

1+x

的定义域为（-1，1），
（1）求f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）；
（2）探究函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由于f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=0，即可得到所求值；
（2）函数f（x）在（-1，1）上单调递减．运用单调性的定义，同时结合对数函数的单调性，即可得证．

解答： 解：（1）由于f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=lg1=0，
则有f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）=0；
（2）函数f（x）在（-1，1）上单调递减．
理由如下：令-1＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=lg

1-m

1+m

-lg

1-n

1+n

=lg

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

，
由于

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

-1=

2(n-m)

(1+m)(1-n)

＞0，
则

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

》1，即有lg

(1-m)(1+n)

(1+m)(1-n)

＞0，
即有f（m）＞f（n），
则有函数f（x）在（-1，1）上单调递减．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性及判断和证明，考查运算能力，属于中档题．