Question

设复数z=

1+i

1-i

，则

C

0 8

+

C

1 8

•z+

C

2 8

•z² +

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷=

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：化简可得z=i，原式=（

C

0 8

+

C

1 8

•z+

C

2 8

•z² +

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷+

C

8 8

•z8）-

C

8 8

•z8，由二项式定理代值计算可得．

解答： 解：化简可得z=

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=i，
∴

C

0 8

+

C

1 8

•z+

C

2 8

•z² +

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷
=（

C

0 8

+

C

1 8

•z+

C

2 8

•z² +

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷+

C

8 8

•z8）-

C

8 8

•z8
=（1+z）⁸-

C

8 8

•z8=（1+i）⁸-1=（2i）⁴-1=16-1=15
故答案为：15

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及二项式定理的应用，属基础题．