Question

已知f（x）=

1 x -1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性；
（3）求函数f（x）的反函数．

Answer 1

考点：反函数,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由

1

x

-1≥0，即可得出；
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，利用单调递减函数的定义即可得出；
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），再把x，y互换即可得出．

解答： 解：（1）由

1

x

-1≥0，解得0＜x≤1，
∴函数f（x）的定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下．
设0＜x₁＜x₂≤1，
则f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．
∴函数f（x）在（0，1]上单调递减．
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），
∴其反函数为f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．

点评：本题考查了函数的定义域、单调性、反函数的求法，属于基础题．